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Popular Trigonometria >

sin^2(x)+cos^4(x)=2

Solução

sin^{2} (x) + cos^{4} (x) = 2

Solução

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Passos da solução

sin^{2} (x) + cos^{4} (x) = 2

Subtrair

2

de ambos os lados

sin^{2} (x) + cos^{4} (x) - 2 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 2 + cos^{4} (x) + sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 2 + cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Simplificar

- 2 + cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x) : cos^{4} (x) - cos^{2} (x) - 1

- 2 + cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= cos^{4} (x) - cos^{2} (x) - 2 + 1

Somar/subtrair:

- 2 + 1 = - 1

= cos^{4} (x) - cos^{2} (x) - 1

= cos^{4} (x) - cos^{2} (x) - 1

- 1 - cos^{2} (x) + cos^{4} (x) = 0

Usando o método de substituição

- 1 - cos^{2} (x) + cos^{4} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 1 - u^{2} + u^{4} = 0

- 1 - u^{2} + u^{4} = 0 : u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

- 1 - u^{2} + u^{4} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - u^{2} - 1 = 0

Reescrever a equação com

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

v^{2} - v - 1 = 0

Resolver

v^{2} - v - 1 = 0 : v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

v^{2} - v - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

v^{2} - v - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = - 1, c = - 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 + 4

Somar:

1 + 4 = 5

= 5

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

v_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1 + 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 5}{2}

v = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1} : \frac{1 - 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1 - 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 5}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

Substitua

v = u^{2},

solucione para

u

Resolver

u^{2} = \frac{1 + 5}{2} : u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

u^{2} = \frac{1 + 5}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

Resolver

u^{2} = \frac{1 - 5}{2} : u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

u^{2} = \frac{1 - 5}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

As soluções são

u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 - 5}{2}, cos (x) = - \frac{1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 - 5}{2}, cos (x) = - \frac{1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{1 + 5}{2} :

Sem solução

cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2} :

Sem solução

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = \frac{1 - 5}{2} : x = arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{1 - 5}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{1 - 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

x = arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

x = arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 - 5}{2} : x = arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 - 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{1 - 5}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{1 - 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

x = arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

x = arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

Dado que a equação é indefinida para:

arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, - arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, - arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Gráfico

Exemplos populares

(1+sin^2(x))=(4cos(x))^2

(1 + sin^{2} (x)) = (4 cos (x))^{2}

cos(x)=53

cos (x) = 53

sin^2(a)=(1-cos(a))/2

sin^{2} (a) = \frac{1 - cos ( a )}{2}

cos(x)=(-11)/(12)

cos (x) = \frac{- 11}{12}

6sin^2(x)+5cos(x)-2=0

6 sin^{2} (x) + 5 cos (x) - 2 = 0