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1+cos(a)=(2cos^2(a))/2

Solução

1 + cos (a) = \frac{2 cos ^{2} ( a )}{2}

Solução

a = 2.23703 \dots + 2 πn, a = - 2.23703 \dots + 2 πn

Graus

a = 128.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = - 128.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

1 + cos (a) = \frac{2 cos ^{2} ( a )}{2}

Usando o método de substituição

1 + cos (a) = \frac{2 cos ^{2} ( a )}{2}

Sea:

cos (a) = u

1 + u = \frac{2 u ^{2}}{2}

1 + u = \frac{2 u ^{2}}{2} : u = \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}

1 + u = \frac{2 u ^{2}}{2}

Multiplicar ambos os lados por

2

1 + u = \frac{2 u ^{2}}{2}

Multiplicar ambos os lados por

2

1 \cdot 2 + u \cdot 2 = \frac{2 u ^{2}}{2} \cdot 2

Simplificar

2 + 2 u = 2 u^{2}

2 + 2 u = 2 u^{2}

Trocar lados

2 u^{2} = 2 + 2 u

Mova

2 u

para o lado esquerdo

2 u^{2} = 2 + 2 u

Subtrair

2 u

de ambos os lados

2 u^{2} - 2 u = 2 + 2 u - 2 u

Simplificar

2 u^{2} - 2 u = 2

2 u^{2} - 2 u = 2

Mova

2

para o lado esquerdo

2 u^{2} - 2 u = 2

Subtrair

2

de ambos os lados

2 u^{2} - 2 u - 2 = 2 - 2

Simplificar

2 u^{2} - 2 u - 2 = 0

2 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = - 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 (- 2) = 25

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 (- 2)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Somar:

4 + 16 = 20

= 20

Decomposição em fatores primos de

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

dividida por

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 10

10

dividida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 5}{2 \cdot 2}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 2} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 5}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 5}{4}

Fatorar

2 + 25 : 2 (1 + 5)

2 + 25

Reescrever como

= 2 \cdot 1 + 25

Fatorar o termo comum

2

= 2 (1 + 5)

= \frac{2 ( 1 + 5 )}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1 + 5}{2}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 2} : \frac{1 - 5}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 5}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 5}{4}

Fatorar

2 - 25 : 2 (1 - 5)

2 - 25

Reescrever como

= 2 \cdot 1 - 25

Fatorar o termo comum

2

= 2 (1 - 5)

= \frac{2 ( 1 - 5 )}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1 - 5}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}

Substituir na equação

u = cos (a)

cos (a) = \frac{1 + 5}{2}, cos (a) = \frac{1 - 5}{2}

cos (a) = \frac{1 + 5}{2}, cos (a) = \frac{1 - 5}{2}

cos (a) = \frac{1 + 5}{2} :

Sem solução

cos (a) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (a) = \frac{1 - 5}{2} : a = arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn, a = - arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn

cos (a) = \frac{1 - 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (a) = \frac{1 - 5}{2}

Soluções gerais para

cos (a) = \frac{1 - 5}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

a = arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn, a = - arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn

a = arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn, a = - arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

a = arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn, a = - arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

a = 2.23703 \dots + 2 πn, a = - 2.23703 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

cos(x)+cos^4(x)= 1/2

sin^2(x)=sec(x)

5sin^2(x)-11sin(x)+2=0

3cos^2(x)-sin^2(x)-sin^2(x)=0

3sin(a)+cos(a)=1