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sin(x)sin^3(x)-sin^5(x)sin^3(x)=0

Solução

sin (x) sin^{3} (x) - sin^{5} (x) sin^{3} (x) = 0

Solução

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graus

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

sin (x) sin^{3} (x) - sin^{5} (x) sin^{3} (x) = 0

Usando o método de substituição

sin (x) sin^{3} (x) - sin^{5} (x) sin^{3} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

u u^{3} - u^{5} u^{3} = 0

u u^{3} - u^{5} u^{3} = 0 : u = 0, u = 1, u = - 1, u = i, u = - i

u u^{3} - u^{5} u^{3} = 0

Simplificar

u^{4} - u^{8} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{8} + u^{4} = 0

Reescrever a equação com

v = u^{2}, v^{2} = u^{4}

v^{4} = u^{8}

- v^{4} + v^{2} = 0

Resolver

- v^{4} + v^{2} = 0 : v = 0, v = 1, v = - 1

- v^{4} + v^{2} = 0

Reescrever a equação com

u = v^{2}

u^{2} = v^{4}

- u^{2} + u = 0

Resolver

- u^{2} + u = 0 : u = 0, u = 1

- u^{2} + u = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- u^{2} + u = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 1, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 0

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 0

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 1 + 0

Somar:

1 + 0 = 1

= 1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 1 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 1}

Somar/subtrair:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Aplicar a regra

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 1}

Subtrair:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 0, u = 1

u = 0, u = 1

Substitua

u = v^{2},

solucione para

v

Resolver

v^{2} = 0 : v = 0

v^{2} = 0

Aplicar a regra

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

v = 0

Resolver

v^{2} = 1 : v = 1, v = - 1

v^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

v = 1, v = - 1

1 = 1

1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar a regra

1 = 1

= - 1

v = 1, v = - 1

As soluções são

v = 0, v = 1, v = - 1

v = 0, v = 1, v = - 1

Substitua

v = u^{2},

solucione para

u

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar a regra

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Resolver

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar a regra

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Resolver

u^{2} = - 1 : u = i, u = - i

u^{2} = - 1

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

Simplificar

- 1 : i

- 1

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- 1 = i

= i

Simplificar

- - 1 : - i

- - 1

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

As soluções são

u = 0, u = 1, u = - 1, u = i, u = - i

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = 0, sin (x) = 1, sin (x) = - 1, sin (x) = i, sin (x) = - i

sin (x) = 0, sin (x) = 1, sin (x) = - 1, sin (x) = i, sin (x) = - i

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluções gerais para

sin (x) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluções gerais para

sin (x) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluções gerais para

sin (x) = - 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = i :

Sem solução

sin (x) = i

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

sin (x) = - i :

Sem solução

sin (x) = - i

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

5sin^2(x)=2sin(x)

5 sin^{2} (x) = 2 sin (x)

3cos^2(x)+5sin(x)-4=0

3 cos^{2} (x) + 5 sin (x) - 4 = 0

solvefor x,d^2+3d+2y=4cos^2(x)resolver para

x, d^{2} + 3 d + 2 y = 4 cos^{2} (x)

(1+tan^2(x))cos^2(x)=sec(x)

(1 + tan^{2} (x)) cos^{2} (x) = sec (x)

(cos^2(x)-1)/(sin^2(x))=-tan(x)

\frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} = - tan (x)