Límites Cheat Sheet


Límites Cheat Sheet

Propriedades de limite

\mathrm{Se\:o\:limite\:de\:f(x),\:e\:g(x)\:existe,\:então\:o\:seguinte\:se\:aplica:}
\lim_{x\to a}(x}=a
\lim_{x\to{a}}[c\cdot{f(x)}]=c\cdot\lim_{x\to{a}}{f(x)}
\lim_{x\to{a}}[(f(x))^c]=(\lim_{x\to{a}}{f(x)})^c
\lim_{x\to{a}}[f(x)\pm{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\pm\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[f(x)\cdot{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\cdot\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{\lim_{x\to{a}}{f(x)}}{\lim_{x\to{a}}{g(x)}}, \quad "where" \: \lim_{x\to{a}}g(x)\neq0


Propriedades de limite ao infinito

\mathrm{Para}\:\lim_{x\to c}f(x)=\infty, \lim_{x\to c}g(x)=L,\:\mathrm{o\:seguinte\:se aplica:}
\lim_{x\to c}[f(x)\pm g(x)]=\infty
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=\infty, \quad L>0
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=-\infty, \quad L<0
\lim_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=0
\lim_{x\to \infty}(ax^n)=\infty, \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=\infty,\quad \mathrm{n\:é\:par} , \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=-\infty,\quad \mathrm{n\:é\:ímpar} , \quad a>0
\lim_{x\to \infty}\left(\frac{c}{x^a}\right)=0


Formas indeterminadas

0^{0} \infty^{0}
\frac{\infty}{\infty} \frac{0}{0}
0\cdot\infty \infty-\infty
1^{\infty}


Limites comuns

\lim _{x\to \infty}((1+\frac{k}{x})^x)=e^k \lim _{x\to \infty}((\frac{x}{x+k})^x)=e^{-k}
\lim _{x\to 0}((1+x)^{\frac{1}{x}})=e


Regras de limite

Limite de uma constante \lim_{x\to{a}}{c}=c
Limite básico \lim_{x\to{a}}{x}=a
Teorema do Confronto
\mathrm{Assuma que\:f,\:g\:e\:h\:são\:funções\:tais\:que\:para\:todo}\:x\in \left[a,\:b\right]\:
\mathrm{(exceto\:possivelmente\:no\:ponto\:de\:limite\:c),\:} f\left(x\right)\le h\left(x\right)\le g\left(x\right)
\mathrm{Também\:suponha\:que,\:}\lim _{x\to c}f\left(x\right)=\lim _{x\to c}g\left(x\right)=L
\mathrm{Então\:para\:cada\:}a\le c\le b,\:\lim _{x\to c}h\left(x\right)=L
Regra de L'Hopital
\mathrm{Para}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right),
\mathrm{se}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{0}{0}\:\mathbf{duplicated textId}=\mathrm{or}\:\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\pm\infty}{\pm\infty},
\mathrm{então}\quad\lim_{x\to{a}}(\frac{f(x)}{g(x)})=\lim_{x\to{a}}(\frac{f ^{'}(x)}{g ^{'}(x)})
Critério de divergência
\mathrm{Se\:existem\:duas\:seqüências,}\:\left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty }\:\mathrm{e}\:\left\{y_n\right\}_{n=1}^{\infty }
\mathrm{com:}
x_n\ne{c},\:\mathrm{e}\:y_n\ne{c}
\lim{x_n}=\lim{y_n}=c
\lim{f(x_n)}\ne\lim{f(y_n)}
\mathrm{Então}\:\lim_{x\to\:c}f(x)\:\mathrm{não\:existe}
Regra da cadeia para limites
\mathrm{se}\:\lim_{u \to b}f(u)=L,\:\mathrm{e}\:\lim_{x \to a}g(x)=b,
\mathrm{e}\:f(x)\:\mathrm{é\:contínuo\:em}\:x=b
\mathrm{Então:}\:\lim_{x \to a} f(g(x))=L
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