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Popular Trigonometria >

cos(3x)-21cos(x)+16=0

Solução

cos (3 x) - 21 cos (x) + 16 = 0

Solução

x = 0.74946 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.74946 \dots + 2 πn

Graus

x = 42.94140 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 317.05859 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

cos (3 x) - 21 cos (x) + 16 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

16 + cos (3 x) - 21 cos (x)

cos (3 x) = 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

cos (3 x)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (3 x)

Reescrever como

= cos (2 x + x)

Use a identidade de soma de ângulos:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 x) cos (x) - sin (2 x) sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

Simplificar

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) : cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Expandir

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

= cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) - 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Expandir

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= cos (x) 2 cos^{2} (x) - cos (x) 1

= 2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

Simplificar

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 \cdot cos (x) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Somar:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 cos (x)

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Expandir

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x)) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 cos (x), b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 cos (x) 1 - (- 2 cos (x)) cos^{2} (x)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

Simplificar

- 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 cos (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Somar:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Simplificar

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Agrupar termos semelhantes

= 2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Somar elementos similares:

2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) = 4 cos^{3} (x)

= 4 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Somar elementos similares:

- cos (x) - 2 cos (x) = - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 16 + 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x) - 21 cos (x)

Simplificar

= 16 + 4 cos^{3} (x) - 24 cos (x)

16 - 24 cos (x) + 4 cos^{3} (x) = 0

Usando o método de substituição

16 - 24 cos (x) + 4 cos^{3} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

16 - 24 u + 4 u^{3} = 0

16 - 24 u + 4 u^{3} = 0 : u = 2, u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

16 - 24 u + 4 u^{3} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

4 u^{3} - 24 u + 16 = 0

Fatorar

4 u^{3} - 24 u + 16 : 4 (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

4 u^{3} - 24 u + 16

Fatorar o termo comum

4 : 4 (u^{3} - 6 u + 4)

4 u^{3} - 24 u + 16

Reescrever

16

como

4 \cdot 4

Reescrever

24

como

4 \cdot 6

= 4 u^{3} - 4 \cdot 6 u + 4 \cdot 4

Fatorar o termo comum

4

= 4 (u^{3} - 6 u + 4)

= 4 (u^{3} - 6 u + 4)

Fatorar

u^{3} - 6 u + 4 : (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

u^{3} - 6 u + 4

Utilizar o teorema das raízes racionais

a_{0} = 4, a_{n} = 1

Os divisores de

a_{0} : 1, 2, 4,

Os divisores de

a_{n} : 1

Portanto, verificar os seguintes números racionais:

\pm \frac{1 , 2 , 4}{1}

\frac{2}{1}

é a raiz da expressão, portanto, fatorar

u - 2

= (u - 2) \frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2}

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} = u^{2} + 2 u - 2

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2}

Dividir

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} : \frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

u^{3} - 6 u + 4

e o divisor

u - 2 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quociente = u^{2}

Multiplicar

u - 2

por

u^{2} : u^{3} - 2 u^{2}

Subtrair

u^{3} - 2 u^{2}

u^{3} - 6 u + 4

para obter um novo resto

Resto = 2 u^{2} - 6 u + 4

Portanto

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2}

= u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2}

Dividir

\frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2} : \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2} = 2 u + \frac{- 2 u + 4}{u - 2}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

2 u^{2} - 6 u + 4

e o divisor

u - 2 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Quociente = 2 u

Multiplicar

u - 2

por

2 u : 2 u^{2} - 4 u

Subtrair

2 u^{2} - 4 u

2 u^{2} - 6 u + 4

para obter um novo resto

Resto = - 2 u + 4

Portanto

\frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2} = 2 u + \frac{- 2 u + 4}{u - 2}

= u^{2} + 2 u + \frac{- 2 u + 4}{u - 2}

Dividir

\frac{- 2 u + 4}{u - 2} : \frac{- 2 u + 4}{u - 2} = - 2

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

- 2 u + 4

e o divisor

u - 2 : \frac{- 2 u}{u} = - 2

Quociente = - 2

Multiplicar

u - 2

por

- 2 : - 2 u + 4

Subtrair

- 2 u + 4

- 2 u + 4

para obter um novo resto

Resto = 0

Portanto

\frac{- 2 u + 4}{u - 2} = - 2

= u^{2} + 2 u - 2

= u^{2} + 2 u - 2

= (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

= 4 (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

4 (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u - 2 = 0 or u^{2} + 2 u - 2 = 0

Resolver

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Mova

2

para o lado direito

u - 2 = 0

Adicionar

2

a ambos os lados

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplificar

u = 2

u = 2

Resolver

u^{2} + 2 u - 2 = 0 : u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

u^{2} + 2 u - 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

u^{2} + 2 u - 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 23

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Somar:

4 + 8 = 12

= 12

Decomposição em fatores primos de

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

dividida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 1} : - 1 + 3

\frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 3}{2}

Fatorar

- 2 + 23 : 2 (- 1 + 3)

- 2 + 23

Reescrever como

= - 2 \cdot 1 + 23

Fatorar o termo comum

2

= 2 (- 1 + 3)

= \frac{2 ( - 1 + 3 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 3

u = \frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 1} : - 1 - 3

\frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 3}{2}

Fatorar

- 2 - 23 : - 2 (1 + 3)

- 2 - 23

Reescrever como

= - 2 \cdot 1 - 23

Fatorar o termo comum

2

= - 2 (1 + 3)

= - \frac{2 ( 1 + 3 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + 3)

Inverter o sinal de

- (1 + 3) = - 1 - 3

= - 1 - 3

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

As soluções são

u = 2, u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = 2, cos (x) = - 1 + 3, cos (x) = - 1 - 3

cos (x) = 2, cos (x) = - 1 + 3, cos (x) = - 1 - 3

cos (x) = 2 :

Sem solução

cos (x) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = - 1 + 3 : x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

cos (x) = - 1 + 3

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - 1 + 3

Soluções gerais para

cos (x) = - 1 + 3

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

cos (x) = - 1 - 3 :

Sem solução

cos (x) = - 1 - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.74946 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.74946 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

sin^5(x)-sin(x)=0

tan(x)=(95.75)/4

5cos^2(x)=4

cos(x-15^0)=((sqrt(2)))/2

sin(x)=1-cos^x(x)