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cos^4(a)+cos^2(a)=1

Solução

cos^{4} (a) + cos^{2} (a) = 1

Solução

a = 0.66623 \dots + 2 πn, a = 2 π - 0.66623 \dots + 2 πn, a = 2.47535 \dots + 2 πn, a = - 2.47535 \dots + 2 πn

Graus

a = 38.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 321.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 141.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = - 141.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

cos^{4} (a) + cos^{2} (a) = 1

Usando o método de substituição

cos^{4} (a) + cos^{2} (a) = 1

Sea:

cos (a) = u

u^{4} + u^{2} = 1

u^{4} + u^{2} = 1 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}, u = - \frac{- 1 - 5}{2}

u^{4} + u^{2} = 1

Mova

1

para o lado esquerdo

u^{4} + u^{2} = 1

Subtrair

1

de ambos os lados

u^{4} + u^{2} - 1 = 1 - 1

Simplificar

u^{4} + u^{2} - 1 = 0

u^{4} + u^{2} - 1 = 0

Reescrever a equação com

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

v^{2} + v - 1 = 0

Resolver

v^{2} + v - 1 = 0 : v = \frac{- 1 + 5}{2}, v = \frac{- 1 - 5}{2}

v^{2} + v - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

v^{2} + v - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = 1, c = - 1

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Somar:

1 + 4 = 5

= 5

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

v_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

v = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

v = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

v = \frac{- 1 + 5}{2}, v = \frac{- 1 - 5}{2}

v = \frac{- 1 + 5}{2}, v = \frac{- 1 - 5}{2}

Substitua

v = u^{2},

solucione para

u

Resolver

u^{2} = \frac{- 1 + 5}{2} : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = - \frac{- 1 + 5}{2}

u^{2} = \frac{- 1 + 5}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = - \frac{- 1 + 5}{2}

Resolver

u^{2} = \frac{- 1 - 5}{2} : u = \frac{- 1 - 5}{2}, u = - \frac{- 1 - 5}{2}

u^{2} = \frac{- 1 - 5}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{- 1 - 5}{2}, u = - \frac{- 1 - 5}{2}

As soluções são

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}, u = - \frac{- 1 - 5}{2}

Substituir na equação

u = cos (a)

cos (a) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (a) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (a) = \frac{- 1 - 5}{2}, cos (a) = - \frac{- 1 - 5}{2}

cos (a) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (a) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (a) = \frac{- 1 - 5}{2}, cos (a) = - \frac{- 1 - 5}{2}

cos (a) = \frac{- 1 + 5}{2} : a = arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, a = 2 π - arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

cos (a) = \frac{- 1 + 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (a) = \frac{- 1 + 5}{2}

Soluções gerais para

cos (a) = \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

a = arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, a = 2 π - arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

a = arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, a = 2 π - arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

cos (a) = - \frac{- 1 + 5}{2} : a = arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, a = - arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

cos (a) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (a) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Soluções gerais para

cos (a) = - \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

a = arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, a = - arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

a = arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, a = - arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

cos (a) = \frac{- 1 - 5}{2} : a = arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, a = - arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

cos (a) = \frac{- 1 - 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (a) = \frac{- 1 - 5}{2}

Soluções gerais para

cos (a) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

a = arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, a = - arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

a = arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, a = - arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

cos (a) = - \frac{- 1 - 5}{2} : a = arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, a = - arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

cos (a) = - \frac{- 1 - 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (a) = - \frac{- 1 - 5}{2}

Soluções gerais para

cos (a) = - \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

a = arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, a = - arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

a = arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, a = - arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

a = arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, a = 2 π - arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, a = arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, a = - arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, a = arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, a = - arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, a = arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, a = - arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

Dado que a equação é indefinida para:

arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, - arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, - arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

a = arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, a = 2 π - arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, a = arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, a = - arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

a = 0.66623 \dots + 2 πn, a = 2 π - 0.66623 \dots + 2 πn, a = 2.47535 \dots + 2 πn, a = - 2.47535 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

1-cos(x)=2+cos(x)

(1+cos(4x))sin(4x)=2cos^2(2x)

(5sin(x)+6)/(sin(x))=17

tan^2(x)sec(x)-1=0

sin^2(x)+cos^4(x)=2